Question

已知函數(shù)，，，其中且.

（I）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最小值；

（II）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（III）若對(duì)任意的，函數(shù)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問(wèn)中，利用，其中.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061916420815705019/SYS201206191644266883593054_DA.files/image003.png">，所以，又，利用均值不等式求解得到最小值即可，第二問(wèn)中，當(dāng)時(shí)，，，所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間是.從而得到極值。

第三問(wèn)中，不妨設(shè)，則由得.構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解最值。

解：（I），其中.

  因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061916420815705019/SYS201206191644266883593054_DA.files/image003.png">，所以，又，所以，

  當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，其最小值為. ……………………………4分

 （II）當(dāng)時(shí)，，.

                          ………………………………………………………..6分

  的變化如下表：

		0		0

 

所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間是.

                  ……………………………………………………………….8分

函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值.

                  ……………………………………………………………….10分

（III）由題意，.

不妨設(shè)，則由得.  ……………12分

令，則函數(shù)在單調(diào)遞增.

                 

在恒成立.

即在恒成立.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061916420815705019/SYS201206191644266883593054_DA.files/image036.png">，因此，只需.

解得. 

故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.