Question

已知平面上10個圓，任意兩個都相交．是否存在直線l，與每個圓都有公共點？證明你的結論．

Answer 1

分析：借助于這十個圓在已設的直線l₀上的投影來處理，只要在所有圓的公共投影內作直線l₀的垂線l，則此垂線必滿足條件．

解答：解：存在直線l，與每個圓都有公共點．
證明如下：
如圖，先作直線l₀，設第i個圓在直線l₀上的正投影是線段A_iB_i，其中A_i、B_i分別是線段的左右端點．
10個圓有10個投影線段，有10個左端點，有10個右端點．                                         
因為任意兩個圓都相交，所以任意兩條投影線段都有重疊的部分，
設A_k是最右邊的左端點，則所有右端點都在A_k的右邊，
否則必有兩條投影線段無重疊部分，與對應的兩個圓相交矛盾．                                             
再設B_m是最左邊的右端點，同理所有左端點都在B_m的左邊．A_k與B_m不重合，
線段A_kB_m是任意一條投影線段的一部分，過線段A_kB_m上某一點作直線l₀的垂線l，
則l與10個圓都相交．

點評：本題考查圓與圓的位置關系的判定，注意轉化為投影問題是解決此題的關鍵．