Question

已知函數(shù)f(x)=a^|x|+ (a>0,a≠1)

（1）若a>1，且關(guān)于x的方程f(x)=m有兩個(gè)不同的正數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)g(x)= f( x)，x∈[ 2，+∞），滿足如下性質(zhì)：若存在最大（�。┲�，則最大（小）值與a無關(guān).試求a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）實(shí)數(shù)的取值范圍為區(qū)間；（2）實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）令,換元將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有相異的且均大于1的兩根，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（2）算得，分類討論①當(dāng)，②當(dāng)，再分，討論解答.

試題解析：(1)令，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032204305134539601/SYS201403220431423296829379_DA.files/image013.png">，所以，所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正數(shù)解等價(jià)于關(guān)于的方程有相異的且均大于1的兩根，即關(guān)于的方程有相異的且均大于1的兩根，                2分

所以，                         4分

解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為區(qū)間.           6分

(2)

①當(dāng)時(shí)，

a)時(shí)，，，所以 ，

b)時(shí)，，所以   8分

ⅰ)當(dāng)即時(shí)，對，，所以 在上遞增，

所以 ，綜合a) b)有最小值為與a有關(guān)，不符合 10分

ⅱ)當(dāng)即時(shí)，由得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以 在上遞減，在上遞增，所以，綜合a) b) 有最小值為與a無關(guān)，符合要求．   12分

②當(dāng)時(shí)，

a) 時(shí)，，，所以

b) 時(shí)，，，

所以  ，在上遞減，

所以 ，綜合a) b) 有最大值為與a有關(guān)，不符合  15分

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．                  16分

考點(diǎn)：二次函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值、分類討論思想.