Question

2．已知f（x）=（a-1）（a^x-a^-x）（a＞0，且a≠1）．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性的定義即可判斷證明；
（2）分a＞1，0＜a＜1兩種情況討論即可利用定義作出證明；

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞），
則f（-x）=（a-1）（a^-x-a^x）=-（a-1）（a^x-a^-x）=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)．
（2）任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（a-1）（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{-{x}_{1}}$）-（a-1）（${a}^{{x}_{2}}-{a}^{-{x}_{2}}$）=（a-1）•$\frac{（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）（{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+1）}{{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
①當(dāng)a＞1時(shí)，a-1＞0，又x₁＜x₂，${a}^{{x}_{1}}$＜${a}^{{x}_{2}}$，${a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+1＞0$，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）為增函數(shù)；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a-1＜0，當(dāng)x₁＜x₂，${a}^{{x}_{1}}$＞${a}^{{x}_{2}}$，x₁0，${a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+1＞0$，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）也為增函數(shù)，
綜上f（x）為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的證明及其應(yīng)用，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問題的能力．利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．