Question

已知向量=（x²-1，-1），=（x，y），當(dāng)|x|＜時，有⊥；當(dāng)|x|≥時，∥．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若對|x|≥，都有f（x）≤m，求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

解：（1）由題意，當(dāng)|x|＜時，（x²-1）x-y=0，即y=x³-x；
當(dāng)|x|≥時，（x²-1）y+x=0，即
∴y=f（x）=；
（2）當(dāng)|x|＜時，y′=3x²-1＜0，可得；當(dāng)|x|≥時，＞0恒成立，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；
（3）由（2）知，當(dāng)x≥時，函數(shù)單調(diào)遞增，且f（x）∈[-，0）；當(dāng)x≤-時，函數(shù)單調(diào)遞增，且f（x）∈（0，]，
∴函數(shù)具有最小值
∴m≥-
∴m的最小值．
分析：（1）根據(jù)當(dāng)|x|＜時，有⊥；當(dāng)|x|≥時，∥，分別利用相應(yīng)的運(yùn)算，即可求得函數(shù)的解析式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)，確定其小于0，即可得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的值域，可得函數(shù)的最小值，從而可得m的最小值．
點評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查恒成立問題，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．