如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC中點(diǎn)．
（1）求證：平面BEC1⊥平面ACC1A1；
（2）若數(shù)學(xué)公式，求二面角E-BC1-C的大�。�

（1）證明：∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC中點(diǎn)，∴BE⊥AC
∵側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BE
∵AA1∩AC=A，∴BE⊥平面ACC1A1，
∵BE?平面BEC1，∴平面BEC1⊥平面ACC1A1；
（2）解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥C1E于點(diǎn)H，則CH⊥平面BEC1，

過(guò)H作HG⊥BC1于G，連接CG，由三垂線定理得CG⊥BC1，故∠CGH為二面角E-BC1-C的平面角
∵，∴當(dāng)AA1=2a時(shí)，AB=2a時(shí)，∴C1E=a，∴CH==
∵BC1=2a，∴CG==
∴在直角△CGH中，sin∠CGH==
根據(jù)圖形可得，二面角E-BC1-C的平面角為45°
分析：（1）先證明BE⊥平面ACC1A1，再利用面面垂直的判定定理，可證平面BEC1⊥平面ACC1A1；
（2）作出二面角E-BC1-C的平面角，再利用三角函數(shù)，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直，考查面面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確作出面面角是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長(zhǎng)都等于a，E是BB1的中點(diǎn)．
（1）求直線C1B與平面A1ABB1所成角的正弦值；
（2）求證：平面AEC1⊥平面ACC1A1；
（3）求點(diǎn)C1到平面AEC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)是（　�。�
A、2
B、
3
C、
5
D、
7

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A-A1D-B的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•鄭州二模）如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)O為AB1上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)OD∥平面ABC時(shí)，求
AOOB1
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中（注：底面為正三角形且側(cè)棱與底面垂直），BC=CC1=2，P，Q分別為BB1，CC1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求多面體ABC-A1PC1的體積；
（Ⅱ）求A1Q與BC1所成角的大�。�

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