【題目】以任意方式把空間染成五種顏色(每點(diǎn)屬于一色,每色的點(diǎn)都有).

(1)證明:存在一個(gè)平面,至少含有四種不同顏色的點(diǎn);

(2)是否一定存在五色平面?

【答案】(1)見(jiàn)解析(2) 不一定.

【解析】

(1)若存在四色線,則含有的平面即為所求.若存在三色線,

則在線外可再取到一個(gè)第四色的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)和線的平面即為所求.

假若任一直線上都不多于兩色,為此,

用分別表示這五種顏色的點(diǎn)所構(gòu)成的點(diǎn)集.取點(diǎn),,過(guò)的直線記為,則直線上其余的點(diǎn)也屬于或.

不妨設(shè)直線上有點(diǎn),在空間分別取點(diǎn)、,過(guò)的平面記為,

則直線與平面有公共點(diǎn).

若,則平面即為所求(這時(shí),平面上含有四色).

若,在空間再取一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)和直線作平面,

則平面和平面的交線為過(guò)的直線.在平面內(nèi),過(guò)點(diǎn)的兩條直線和中,

至少有一條要與直線相交,不妨設(shè),則點(diǎn)屬于或.

于是,平面至少含有四色(或含或含).

(2)不一定.例如,若將四面體的四個(gè)頂 點(diǎn)分別染成四色,

空間其余的點(diǎn)全染成色,這時(shí),不存在五色平面.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】浙江省現(xiàn)行的高考招生制度規(guī)定除語(yǔ)、數(shù)、英之外，考生須從政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)這7門高中學(xué)考科目中選擇3門作為高考選考科目，成績(jī)計(jì)入高考總分.已知報(bào)考某高校、兩個(gè)專業(yè)各需要一門科目滿足要求即可，專業(yè)：物理、化學(xué)、技術(shù)；專業(yè)：歷史、地理、技術(shù).考生小李今年打算報(bào)考該高校這兩個(gè)專業(yè)的選考方式有______ 種.（用數(shù)字作答）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)又本�的參數(shù)方程：，（為參數(shù)，） ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若直線與曲線恰好有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求直線的一般方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】中國(guó)改革開(kāi)放以來(lái)經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅猛，某一線城市的城鎮(zhèn)居民2012～2018年人均可支配月收入散點(diǎn)圖如下（年份均用末位數(shù)字減1表示）.

（1）由散點(diǎn)圖可知，人均可支配月收入y（萬(wàn)元）與年份x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，試求y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.001），依此相關(guān)關(guān)系預(yù)測(cè)2019年該城市人均可支配月收入；

（2）在2014～2018年的五個(gè)年份中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)據(jù)作樣本分析，求所取的兩個(gè)數(shù)據(jù)中，人均可支配月收入恰好有一個(gè)超過(guò)1萬(wàn)元的概率.

注：，，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)從集合中取出個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)的取法有種.求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2020年新年伊始，新型冠狀病毒來(lái)勢(shì)洶洶，疫情使得各地學(xué)生在寒假結(jié)束之后無(wú)法返校，教育部就此提出了線上教學(xué)和遠(yuǎn)程教學(xué)，停課不停學(xué)的要求也得到了家長(zhǎng)們的贊同．各地學(xué)校開(kāi)展各式各樣的線上教學(xué)，某地學(xué)校為了加強(qiáng)學(xué)生愛(ài)國(guó)教育，擬開(kāi)設(shè)國(guó)學(xué)課，為了了解學(xué)生喜歡國(guó)學(xué)是否與性別有關(guān)，該學(xué)校對(duì)100名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

喜歡國(guó)學(xué)

不喜歡國(guó)學(xué)

合計(jì)

男生

20

50

女生

10

合計(jì)

100

（1）請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為喜歡國(guó)學(xué)與性別有關(guān)系？

（2）針對(duì)問(wèn)卷調(diào)查的100名學(xué)生，學(xué)校決定從喜歡國(guó)學(xué)的人中按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人成立國(guó)學(xué)宣傳組，并在這6人中任選2人作為宣傳組的組長(zhǎng)，設(shè)這兩人中女生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（本小題10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ。

（Ⅰ）把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0,0≤θ＜2π）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為比較甲、乙兩名藍(lán)球運(yùn)動(dòng)員的近期競(jìng)技狀態(tài)，選取這兩名球員最近五場(chǎng)比賽的得分制成如圖所示的莖葉圖，有下列結(jié)論：

甲

乙

9

8

5

2

8

9

2

1

3

0

1

2

①甲最近五場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)高于乙最近五場(chǎng)比賽得分的中位數(shù).

②甲最近五場(chǎng)比賽得分的平均數(shù)低于乙最近五場(chǎng)比賽得分的平均數(shù).

③從最近五場(chǎng)比賽的得分看，乙比甲更穩(wěn)定.

④從最近五場(chǎng)比賽的得分看，甲比乙更穩(wěn)定.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為（ ）

A.①③B.①④C.②③D.②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】我市為改善空氣環(huán)境質(zhì)量，控制大氣污染，政府相應(yīng)出臺(tái)了多項(xiàng)改善環(huán)境的措施.其中一項(xiàng)是為了減少燃油汽車對(duì)大氣環(huán)境污染.從2018年起大力推廣使用新能源汽車，鼓勵(lì)市民如果需要購(gòu)車，可優(yōu)先考慮選用新能源汽車.政府對(duì)購(gòu)買使用新能源汽車進(jìn)行購(gòu)物補(bǔ)貼，同時(shí)為了地方經(jīng)濟(jì)發(fā)展，對(duì)購(gòu)買本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車比購(gòu)買外地企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車補(bǔ)貼高.所以市民對(duì)購(gòu)買使用本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車的滿意度也相應(yīng)有所提高.有關(guān)部門隨機(jī)抽取本市本年度內(nèi)購(gòu)買新能源汽車的戶，其中有戶購(gòu)買使用本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車，對(duì)購(gòu)買使用新能源汽車的滿意度進(jìn)行調(diào)研，滿意度以打分的形式進(jìn)行.滿分分，將分?jǐn)?shù)按照分成5組，得如下頻率分布直方圖.

（1）若本次隨機(jī)抽取的樣本數(shù)據(jù)中購(gòu)買使用本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車的用戶中有戶滿意度得分不少于分，把得分不少于分為滿意.根據(jù)提供的條件數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表.

滿意

不滿意

總計(jì)

購(gòu)本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車戶數(shù)

購(gòu)?fù)獾仄髽I(yè)生產(chǎn)的新能源汽車戶數(shù)

總計(jì)

并判斷是否有的把握認(rèn)為購(gòu)買使用新能源汽車的滿意度與產(chǎn)地有關(guān)？

（2）以頻率作為概率，政府對(duì)購(gòu)買使用新能源汽車的補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)是：購(gòu)買本市企業(yè)生產(chǎn)的每臺(tái)補(bǔ)貼萬(wàn)元，購(gòu)買外地企業(yè)生產(chǎn)的每臺(tái)補(bǔ)貼萬(wàn)元.但本市本年度所有購(gòu)買新能源汽車的補(bǔ)貼每臺(tái)的期望值不超過(guò)萬(wàn)元.則購(gòu)買外地產(chǎn)的新能源汽車每臺(tái)最多補(bǔ)貼多少萬(wàn)元？

附：，其中.

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