Question

22、用數(shù)學(xué)歸納法證明（1•2²-2•3²）+（3•4²-4•5²）+…+[（2n-1）（2n）²-2n（2n+1）²]=-n（n+1）（4n+3）．

Answer 1

分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟是：第一步，驗(yàn)證當(dāng)n=n₀時命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時命題也成立．關(guān)鍵是第二步中要充分用上歸納假設(shè)的結(jié)論，否則會導(dǎo)致錯誤．

解答：證明：當(dāng)n=1時，左邊=-14，右邊=-1•2•7=-14，等式成立
假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，
即有（1•2²-2•3²）+（3•4²-4•5²）++[（2k-1）（2k）²-2k（2k+1）²]
=-k（k+1）（4k+3）
那么當(dāng)n=k+1時，
（1•2²-2•3²）+（3•4²-4•5²）++[（2k-1）（2k）²-2k（2k+1）²]
+[（2k+1）（2k+2）²-（2k+2）（2k+3）²]
=-k（k+1）（4k+3）-2（k+1）[4k²+12k+9-4k²-6k-2]
=-（k+1）[4k²+3k+2（6k+7）]=-（k+1）[4k²+15k+14]
=-（k+1）（k+2）（4k+7）=-（k+1）[（k+1）+1][4（k+1）+3]．
這就是說，當(dāng)n=k+1時等式也成立．
根據(jù)以上論證可知等式對任何n∈N都成立．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的思想，應(yīng)用中要注意的是要用上歸納假設(shè)．