有如下列命題:
①三邊是連續(xù)的三個自然數(shù),且最大角是最小角的2倍的三角形存在且唯一;
②若
a
b
≥|
a
|•|
b
|
,則存在正實數(shù)λ,使得
a
b

③若函數(shù)f(x)=
1
3
x3-ax2+(a2+3a-3)x+1
在點x=1處取得極值,則實數(shù)a=1或a=-2;
④函數(shù)f(x)=x-sinx有且只有一個零點.
其中正確命題的序號是
①④
①④
分析:①利用余弦定理進行判斷.②利用數(shù)量積的定義和公式進行判斷.③利用導數(shù)和極值的關系判斷.④利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可.
解答:解:①設三角形三邊是連續(xù)的三個自然n-1,n,n+1,三個角分別為α,π-3α,2α,由正弦定理可得
n-1
sin?α
=
n+1
sin?2α
=
n+1
2sin?αcos?α
,∴cosα=
n+1
2(n-1)

再由余弦定理可得 (n-1)2=(n+1)2+n2-2(n+1)n•cosα,即 (n-1)2=(n+1)2+n2-2(n+1)n
n+1
2(n-1)
.化簡可得n2-5n=0,∴n=5. 此時,三角形的三邊分別為:4,5,6,可以檢驗最大角是最小角的2倍.綜上,存在一個三角形三邊長分別為 4,5,6,且最大角是最小角的2倍.所以①正確.
②若
a
b
≥|
a
|•|
b
|
,所以當
b
=
0
滿足條件,所以②錯誤.
③函數(shù)的導數(shù)為f'(x)=x2-2ax+a2+3a-3,因為點x=1處取得極值,所以f'(1)=1-2a+a2+3a-3=0,解得a=1或a=-2,當a=1時,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,此時函數(shù)單調(diào)遞增,無極值,所以③錯誤.
④函數(shù)的導數(shù)為f'(x)=1-cosx≥0,所以函數(shù)f(x)=x-sinx單調(diào)遞增,因為f(0)=0,所以函數(shù)f(x)=x-sinx有且只有一個零點,正確.
故答案為:①④.
點評:本題主要考查各種命題的真假判斷,涉及的知識點較多,綜合性較強,難度較大.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:2014屆四川省高三開學檢測文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題

有如下列命題:①三邊是連續(xù)的三個自然數(shù),且最大角是最小角的2倍的三角形存在且唯一;②若,則存在正實數(shù),使得;③若函數(shù)在點處取得極值,則實數(shù);④函數(shù)有且只有一個零點.其中正確命題的序號是          

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案