Question

13．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為4．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若“橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b時(shí)，則橢圓的面積是πab．”
請(qǐng)針對(duì)（1）中求得的橢圓，求解下列問(wèn)題：
①若m，n∈R，且|m|≤4，|n|≤3，求點(diǎn)P（m，n）落在橢圓內(nèi)的概率；
②若m，n∈Z，且|m|≤4，|n|≤3，求點(diǎn)P（m，n）落在橢圓內(nèi)的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知，先確定a，c的值，進(jìn)而求出b²，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①若m，n∈R，且|m|≤4，|n|≤3，則屬于幾何概型，分別計(jì)算滿足條件的區(qū)域面積和總的區(qū)域面積，進(jìn)而可得答案；
②若m，n∈Z，且|m|≤4，|n|≤3，則屬于古典概型，分別計(jì)算滿足條件的基本事件個(gè)數(shù)和總的基本事件的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得答案；

解答 解：（1）∵短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為4，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，
∴$a=4，e=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，
∴$c=\sqrt{7}$，
∴b²=a²-c²=9，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$．…..（4分）；
（2）①當(dāng)m，n是實(shí)數(shù)，且|m|≤4，|n|≤3時(shí)，
所有形如（m，n）的點(diǎn)覆蓋的圖形面積是48，
橢圓圍成的區(qū)域在其內(nèi)部，且面積為12π，
故點(diǎn)P（m，n）落在橢圓內(nèi)的概率是$\frac{12π}{48}=\frac{π}{4}$…..（8分）；
②當(dāng)m，n是整數(shù)，且|m|≤4，|n|≤3時(shí)，點(diǎn)P（m，n）共有9×7=63個(gè)．…..（10分）；
其中當(dāng)m＞0，n＞0時(shí)，點(diǎn)（4，1），（4，2），（4，3），（3，2），（3，3），（2，3），（1，3）共7點(diǎn)落在橢圓外，
由對(duì)稱性知，當(dāng)m，n是整數(shù)，且|m|≤4，|n|≤3時(shí)，共有4×7=28個(gè)點(diǎn)落在橢圓外，又因?yàn)樵跈E圓上的整點(diǎn)有四個(gè)，
故點(diǎn)P（m，n）落在橢圓內(nèi)的概率是$\frac{63-28-4}{63}=\frac{31}{63}$…..（16分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，概率的計(jì)算公式，是圓錐曲線與概率的綜合應(yīng)用，難度中檔．