Question

【題目】橢圓過點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當(dāng)的面積為時(shí)，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直線方程為：或。

【解析】

試題（Ⅰ）由已知條件橢圓過點(diǎn)，將代入方程，得到一個(gè)方程，再由，可得，由此能求出橢圓方程．（Ⅱ）當(dāng)的面積為時(shí)，求直線的方程，橢圓右焦點(diǎn)． 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證不符合條件，故直線的斜率存在，設(shè)直線方程，代入橢圓方程得到關(guān)于的一元二次方程，由，由根與系數(shù)關(guān)系即可求出斜率，從而可得直線的方程。

也可設(shè)設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得到關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系即可求出斜率，從而可得直線的方程。

試題解析：（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以①，又因?yàn)殡x心率為，所以，所以②，解①②得

所以橢圓的方程為：

（2）①當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，

，不適合題意

②當(dāng)直線的傾斜角不為時(shí)，設(shè)直線方程，

代入得：

設(shè)，則

，

所以直線方程為：或