Question

已知：函數f（x）=

1

2

（sinx+|sinx|），x∈R
（1）求函數f（x）的周期T，與單調增區(qū)間．
（2）函數y=f（x）與y=lgx的圖象有幾個公共交點．
（3）設關于x的函數g（x）=-2sin²x-2acosx-2a+1的最小值為h（a），試確定滿足h（a）=

1

2

的a的值，并對此時的a值求g（x）的最小值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡可得f（x）=

sinx，2kπ≤x≤2kπ+π 0，2kπ＜x＜2kπ+2π

，k∈Z，結合圖象可得周期和單調區(qū)間；
（2）作函數y=f（x）與y=lgx的圖象，數形結合可得；
（3）變形可得g（x）=2cos²x-2acosx-（2a+1），令cosx=t，可得t∈[-1，1]，換元可得y=2t²-2at-（2a+1），由二次函數區(qū)間的最值可得．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

（sinx+|sinx|）
=

sinx，sinx≥0 0，sinx＜0

=

sinx，2kπ≤x≤2kπ+π 0，2kπ＜x＜2kπ+2π

，k∈Z，
∴函數f（x）的周期T=2π
函數f（x）的增區(qū)間：[2kπ，2kπ+

π

2

]；
（2）作函數y=f（x）與y=lgx的圖象，從圖象可以看出函數y=f（x）與y=lgx的圖象有三個交點；

（3）g（x）=-2sin²x-2acosx-2a+1=2cos²x-2acosx-（2a+1），
令cosx=t，可得t∈[-1，1]，
換元可得y=2t²-2at-（2a+1），可看作關于t的二次函數，
圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為t=

a

2

，
當

a

2

＜-1，即a＜-2時，[-1，1]是函數g（x）的遞增區(qū)間，gmin=1≠

1

2

；
當

a

2

＞1，即a＞2時，[-1，1]是函數y的遞減區(qū)間，gmin=-4a+1=

1

2

，得a=

1

8

，與a＞2矛盾；
當-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2時，gmin=-

a2

2

-2a-1=

1

2

，變形可得a²+4a+3=0，
解得a=-1或a=-3（舍去）
綜上可得滿足h（a）=

1

2

的a的值為-1，
此時g（x）的最小值為

1

2

點評：本題考查三角函數恒等變形，涉及數形結合以及分類討論的思想，屬中檔題．