Question

等差數列{a}是遞增數列，前n項和為S_n，且a₁，a₂，a₅成等比數列，．
（1）求通項a_n；
（2）令b_n=，設T_n=b₁+b₂+…+b_n-n，若M＞T_n＞m對一切正整數n恒成立，求實數M、m的取值范圍；
（3）試構造一個函數g（x），使恒成立，且對任意的，均存在正整數N，使得當n＞N時，f（n）＞m．

Answer 1

【答案】分析：（1）設數列的公差為d，利用a₁，a₂，a₅成等比數列，可得d=2a₁，利用等差數列的求和公式及，即可確定數列的首項與公差，從而可得通項a_n；
（2）b_n==1+-，確定T_n的范圍，根據M＞T_n＞m對一切正整數n恒成立，即可求得實數M、m的取值范圍；
（3）取g（x）=，則，再驗證滿足題意即可．
解答：解：（1）設數列的公差為d
∵a₁，a₂，a₅成等比數列，∴
∴
∵d＞0，∴d=2a₁，①
∵
∴5a₁+10d=②
由①②可得a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1
（2）b_n==1+-，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n-n=1-∈[，1）
∵M＞T_n＞m對一切正整數n恒成立，
∴n∈（-∞，），M∈[1，+∞）；
（3）取g（x）=，則
∴，
又f（n）可無限接近，且對任意的m∈，均存在正整數N，使得當n＞N時，f（n）＞m．
點評：本題考查數列的通項，考查數列的求和，考查參數范圍的確定，解題的關鍵是確定數列的通項．