Question

已知圓M：（x+1）²+y²=16及定點N（1，0），點P是圓M上的動點，點Q在線段NP上，點G在線段MP上，且滿足

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=0．
（Ⅰ）求點G的軌跡C的方程；
（Ⅱ）是否存在不垂直于坐標(biāo)軸的直線l和（1）中所求軌跡C相交于不同兩點A，B，且滿足|NA|=|NB|，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,直線的一般式方程,軌跡方程

專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）如圖所示，由

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=0可得GQ垂直平分線段NP，可得|GM|+|GN|=|MP|=R=4＞|MN|=2．
利用橢圓的定義可得：點G的軌跡C是以M，N為焦點，2a=4為長軸長的橢圓，即可得出．
（II）由于|NA|=|NB|，則A，B兩點必定在以N（1，0）為圓心，r為半徑的圓上：（x-1）²+y²=r²，而此圓與橢圓都關(guān)于x軸對稱，其交點AB必定與x軸垂直，即可判斷出．

解答： 解：（I）如圖所示，∵

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=0．
∴Q是線段NP的中點，GQ⊥NP，連接GN．
∴|GN|=|GP|．
∴|GM|+|GN|=|MP|=R=4＞|MN|=2．
∴點G的軌跡C是以M，N為焦點，2a=4為長軸長的橢圓，
其方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）不存在不垂直于坐標(biāo)軸的直線l和（I）中所求軌跡C相交于不同兩點A，B，且滿足|NA|=|NB|．
∵|NA|=|NB|，則A，B兩點必定在以N（1，0）為圓心，r為半徑的圓上：（x-1）²+y²=r²，而此圓與橢圓都關(guān)于x軸對稱，其交點AB必定與x軸垂直，
∴不存在不垂直于坐標(biāo)軸的直線l和（I）中所求軌跡C相交于不同兩點A，B，且滿足|NA|=|NB|．

點評：本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)、圓的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、向量的共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．