(1)用函數(shù)單調(diào)性定義證明F(x)是R上的增函數(shù);
(2)求證:函數(shù)y=F(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(,0)成中心對(duì)稱圖形.
思路分析:(1)證明函數(shù)F(x)的單調(diào)性要用到函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)證明函數(shù)y=F(x)的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(,0)的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)y=F(x)圖像上即可.
解:(1)設(shè)x1、x2∈R,且x1<x2,則
F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(a-x1)]-[f(x2)-f(a-x2)]
=[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-(a-x1)].
又∵函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),x1<x2,
∴a-x2<a-x1.
∴f(x1)<f(x2).∴f(a-x2)<f(a-x1).
∴[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]<0.
∴F(x1)<F(x2).
∴F(x)是R上的增函數(shù).
(2)設(shè)點(diǎn)M(x0,F(x0))是函數(shù)F(x)圖像上任意一點(diǎn),則點(diǎn)M(x0,F(x0))關(guān)于點(diǎn)(,0)的對(duì)稱點(diǎn)M′(a-x0,-F(x0)).
又∵F(a-x0)=f(a-x0)-f[a-(a-x0)]
=f(a-x0)-f(x0)
=-[f(x0)-f(a-x0)]
=-F(x0),
∴點(diǎn)M′(a-x0,-F(x0))也在函數(shù)F(x)圖像上.
又∵點(diǎn)M(x0,F(x0))是函數(shù)F(x)圖像上任意一點(diǎn),
∴函數(shù)y=F(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(,0)成中心對(duì)稱圖形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(1)證明命題“如果a+b≥0,那么f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)成立”;
(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
A.2 B.0 C.-2 D.±2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
A.(1,4) B.(-1,2)
C.(-∞,1]∪[4,+∞) D.(-∞,-1]∪[2,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
A.f(3)>f(-1) B.f(3)<f(-1)
C.f(3)=f(-1) D.f(3)與f(-1)的大小無法確定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆黑龍江省高一期末考試文科數(shù)學(xué) 題型:選擇題
已知函數(shù)f(X)是R上的增函數(shù), A(0,-1) ,B(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn),那么<1的解集的補(bǔ)集是( )
A.(-1,2) B.(1, 4) C.(-∞,-1)∪〔4, +∞) D. (-∞,-1〕∪〔2, +∞)
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