已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),設(shè)F(x)=f(x)-f(a-x).

(1)用函數(shù)單調(diào)性定義證明F(x)是R上的增函數(shù);

(2)求證:函數(shù)y=F(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(,0)成中心對(duì)稱圖形.

思路分析:(1)證明函數(shù)F(x)的單調(diào)性要用到函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)證明函數(shù)y=F(x)的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(,0)的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)y=F(x)圖像上即可.

解:(1)設(shè)x1、x2∈R,且x1<x2,則

F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(a-x1)]-[f(x2)-f(a-x2)]

=[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-(a-x1)].

又∵函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),x1<x2

∴a-x2<a-x1.

∴f(x1)<f(x2).∴f(a-x2)<f(a-x1).

∴[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]<0.

∴F(x1)<F(x2).

∴F(x)是R上的增函數(shù).

(2)設(shè)點(diǎn)M(x0,F(x0))是函數(shù)F(x)圖像上任意一點(diǎn),則點(diǎn)M(x0,F(x0))關(guān)于點(diǎn)(,0)的對(duì)稱點(diǎn)M′(a-x0,-F(x0)).

又∵F(a-x0)=f(a-x0)-f[a-(a-x0)]

=f(a-x0)-f(x0)

=-[f(x0)-f(a-x0)]

=-F(x0),

∴點(diǎn)M′(a-x0,-F(x0))也在函數(shù)F(x)圖像上.

又∵點(diǎn)M(x0,F(x0))是函數(shù)F(x)圖像上任意一點(diǎn),

∴函數(shù)y=F(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(,0)成中心對(duì)稱圖形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),a、b∈R.

(1)證明命題“如果a+b≥0,那么f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)成立”;

(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立,并證明你的結(jié)論.

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已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),g(x)是R上的奇函數(shù),且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,則f(2 006)的值為(    )

A.2            B.0            C.-2            D.±2

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已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),A(0,-1)、B(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn),那么|f(x+1)|<1的解集是(    )

A.(1,4)                                B.(-1,2)

C.(-∞,1]∪[4,+∞)                  D.(-∞,-1]∪[2,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),f(1)=m,f(3)=n,m+n>0,則(    )

A.f(3)>f(-1)                           B.f(3)<f(-1)

C.f(3)=f(-1)                            D.f(3)與f(-1)的大小無法確定

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆黑龍江省高一期末考試文科數(shù)學(xué) 題型:選擇題

已知函數(shù)f(X)是R上的增函數(shù), A(0,-1) ,B(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn),那么<1的解集的補(bǔ)集是(     )

    A.(-1,2)  B.(1, 4)  C.(-∞,-1)∪〔4, +∞)    D. (-∞,-1〕∪〔2, +∞)

 

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