【題目】已知函數(shù).

（1）若是的極小值點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若，證明：當(dāng)時，.

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）求得的定義域，并求導(dǎo)，利用分類討論當(dāng)時，分析單調(diào)性顯然成立；當(dāng)時，令，得或，再利用分類討論兩根的大小，分別分析單調(diào)性討論是否成立，得到當(dāng)時成立，當(dāng)時與當(dāng)時，都不成立，最后綜上得參數(shù)的取值范圍；

（2）由（1）可知當(dāng)時，得的單調(diào)性，從而表示；將所證不等式等價轉(zhuǎn)化為不等式對任意的都恒成立，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求得值域，最后由不等式的性質(zhì)即可得證原不等式成立.

（1）的定義域為，

①當(dāng)時，，則，

令，得，

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；

此時是的極小值點，符合題意；

②當(dāng)時，令，得或.

（i）當(dāng)時，則，

所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，

此時是的極小值點，符合題意；

（ii）當(dāng)時，，

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，不是的極值點.

（iii）當(dāng)時，則，

所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，

此時是的極大值點，不符合題意.

綜合①②，得.

（2）證明：由（1）可知當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；

又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；

所以當(dāng)或時，都有.

要證不等式對任意的都恒成立，

即證不等式對任意的都恒成立，

設(shè)，則.

設(shè)，且在上單調(diào)遞減；

所以方程的唯一解為，

所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；

所以當(dāng)時，.

當(dāng)時，對任意都恒成立.

所以當(dāng)時，不等式對任意都恒成立.

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