Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-1），且其右焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為3．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在斜率為k（k≠0），且過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)l，使l與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓的方程為，由已知得b=1．設(shè)右焦點(diǎn)為（c，0），由題意得，由此能求出橢圓的方程．
（2）直線(xiàn)l的方程y=kx+，代入橢圓方程，得（1+3k²）x²+9kx+=0．由△=81k²-15（1+3k²）＞0得，設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，設(shè)M、N的中點(diǎn)為P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．由此入手能夠?qū)С鲋本�(xiàn)l的方程．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為，由已知得b=1．
設(shè)右焦點(diǎn)為（c，0），由題意得，∴，
∴a²=b²+c²=3．
∴橢圓的方程為．
（2）直線(xiàn)l的方程y=kx+，代入橢圓方程，得
（1+3k²）x²+9kx+=0．
由△=81k²-15（1+3k²）＞0得，
設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則，
設(shè)M、N的中點(diǎn)為P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
∵|BM|=|BN|，∴點(diǎn)B在線(xiàn)段MN的中垂線(xiàn)上．
，化簡(jiǎn)，得．
∵，∴，
所以，存在直線(xiàn)l滿(mǎn)足題意，直線(xiàn)l的方程為
或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系和綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．