Question

拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)（8，8），焦點(diǎn)為F
（1）求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）P是拋物線上一動點(diǎn)，M是PF的中點(diǎn)，求M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出拋物線方程，因為拋物線過點(diǎn)（8，8），所以點(diǎn)（8，8）的坐標(biāo)滿足拋物線方程，就可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）利用相關(guān)點(diǎn)法求PF中點(diǎn)M的軌跡方程，先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），把P點(diǎn)坐標(biāo)用M點(diǎn)的坐標(biāo)表示，再代入P點(diǎn)滿足的方程，化簡即可得到M點(diǎn)的軌跡方程．

解答：解：（1）拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)（8，8），
設(shè)拋物線解析式為y²=2px，把（8，8）代入，得，64=2×8p，∴p=4
∴拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²=8x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（2，0）
（2）設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），
由

x= x0+2 2 y= y0 2

⇒

x0=2x-2 y0=2y

又∵

y

2 0

=8x0，
∴（2y）²=8（2x-2）
∴y²=4（x-1）
∴M的軌跡方程為 y²=4x-4．

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，以及相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程，屬于解析幾何的常規(guī)題．