Question

已知a，b∈R，i為虛數(shù)單位，a+(1-i)2=

2b

1+i

，則函數(shù)f（x）=sinaxcosbx的周期是（　�。�

• A、

  π

  2

• B、π
• C、3π
• D、4π

Answer 1

分析：利用完全平方公式化簡已知等式的左邊，右邊分子分母同時乘以1-i，根據(jù)i²=-1及復(fù)數(shù)為0時的條件，確定出a與b的值，代入所求的式子中，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

ω

，即可求出函數(shù)的周期．

解答：解：由a+(1-i)2=

2b

1+i

，
變形得：a+1-2i+i²=

2b(1-i)

(1+i)(1-i)

，
即（a-b）+（b-2）i=0，
∴a-b=0，且b-2=0，
∴a=b=2，
則函數(shù)f（x）=sin2xcos2x=

1

2

sin4x，
∵ω=4，∴T=

2π

4

=

π

2

．
故選A

點(diǎn)評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，涉及的知識有復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，以及二倍角的正弦函數(shù)公式，利用復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算法則化簡已知的等式確定出a與b的值是本題的突破點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．