Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-

3

，

3

2

)，其離心率是

1

2

．
（1）求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 
（2）斜率為1的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，橢圓上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形OAPB為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-

3

，

3

2

)，其離心率是

1

2

，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，解方程組求出a，b的值，代入可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）直線l的方程為y=x+m，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=-

4m

7

，y₁+y₂=

10m

7

，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形對(duì)角頂點(diǎn)和相等，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程求出m值后，進(jìn)而可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-

3

，

3

2

)，且離心率是

1

2

．
∴

3 a2 + 3 4b2 =1 3a2=4b2

解得a²=4，b²=3
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設(shè)直線l的方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=x+m

得：7x²+8mx+4m²-12=0
則x₁+x₂=-

4m

7

，y₁+y₂=x₁+x₂+2m=

10m

7

若四邊形OAPB為平行四邊形，則x₀=x₁+x₂=-

4m

7

，y₀=y₁+y₂=

10m

7

又∵點(diǎn)P在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上，
∴

(- 4m 7 )2

4

+

( 10m 7 )2

3

=1
解得m=±

21

4

故P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

21

7

，

5 21

14

）或（

21

7

，-

5 21

14

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的關(guān)系，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，熟練掌握橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．