Question

17．已知二次函數(shù)h（x）=ax²+bx+2，其導(dǎo)函數(shù)y=h′（x）的圖象如圖，f（x）=6lnx+h（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間$（{1，m+\frac{1}{2}}）$上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過待定系數(shù)法求出a，b的值，從而求出f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，集合函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）由已知，h′（x）=2ax+b，
其圖象為直線，且過（0，-8），（4，0）兩點，
把兩點坐標代入h′（x）=2ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴h（x）=x²-8x+2，h′（x）=2x-8，
∴f（x）=6lnx+x²-8x+2，
（2）f′（x）=$\frac{6}{x}$+2x-8$\frac{2（x-1）（x-3）}{x}$，
∵x＞0，∴x，f′（x），f（x）的變化如下：

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增		遞減		遞增

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（3，+∞）∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3）
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，m+$\frac{1}{2}$）上是單調(diào)函數(shù)，
則 $\left\{\begin{array}{l}{1＜m+\frac{1}{2}}\\{m+\frac{1}{2}≤3}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{2}$＜m≤$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．