數(shù)列{an}滿足a1=
1
2
,an+1=
1
2-an
(n∈N*).
(I)求數(shù)列{an}的通項公式;
(II)證明:a1+a2+…+an<n-ln
n+2
2

(III)證明:
n
2
-(
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+…+
an2
an+a1
)<ln
n+1
分析:(I)利用數(shù)列遞推式,計算前幾項,猜想數(shù)列的通項,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(II)證明當(dāng)x>0時,ln(1+x)<x,令x=
1
k+1
(k=1,2,…,n)
ln(1+
1
k+1
)<
1
k+1
,即ln(k+2)-ln(k+1)<
1
k+1
,從而可得ln
n+2
2
n
k=1
1
k+1
,由此可證得結(jié)論;
(III)由柯西不等式,要證
n
2
-
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+…+
an2
an+a1
<ln
n+1
,即證 
n
2
-ln
n+1
<(a1+…+an)2
,即證:
1
2
+
1
3
+…+
1
n+1
<ln(n+1)
,構(gòu)建函數(shù)f(x)=ln(1+x)-
x
1+x
,證明當(dāng)x>0時,ln(1+x)>
x
1+x
,取x=
1
k
(k=1,2,3,…,n)
ln
k+1
k
1
k+1
,由此可證得結(jié)論.
解答:(I)解:由a1=
1
2
,an+1=
1
2-an
a2=
2
3
a3=
3
4
,a4=
4
5
,…
,猜想:an=
n
n+1

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想:an=
n
n+1
(n∈N*)
成立.
(。┊(dāng)n=1時,a1=
1
2
,猜想成立;
(ⅱ)假設(shè)n=k(k∈N*)時,猜想成立,即ak=
k
k+1

那么當(dāng)n=k+1時,ak+1=
1
2-ak
=
1
2-
k
k+1
=
k+1
k+2
,從而n=k+1時猜想成立.
綜合(ⅰ),(ⅱ)知:猜想成立.即數(shù)列的通項公式為an=
n
n+1

(II)證明:當(dāng)x>0時,構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln(1+x)-x,則g′(x)=
-x
1+x
<0
,∴函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)減
∴g(x)<g(0),∴l(xiāng)n(1+x)<x;
所以令x=
1
k+1
(k=1,2,…,n)
ln(1+
1
k+1
)<
1
k+1
,即ln(k+2)-ln(k+1)<
1
k+1

n
k=1
[ln(k+2)-ln(k+1)]<
n
k=1
1
k+1
,于是ln
n+2
2
n
k=1
1
k+1
,
從而 n-ln
n+2
2
n
k=1
(1-
1
k+1
)=
n
k=1
ak

a1+a2+…+an<n-ln
n+2
2

(III)證明:由柯西不等式得:(
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+…+
an2
an+a1
)[(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+a1)]>(a1+…+an)2

所以要證
n
2
-
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+…+
an2
an+a1
<ln
n+1

即證 
n
2
-ln
n+1
<(a1+…+an)2
,也就是需證:n-ln(n+1)<
1
2
+
2
3
+…+
n
n+1
,
即證:
1
2
+
1
3
+…+
1
n+1
<ln(n+1)
;
因為函數(shù)f(x)=ln(1+x)-
x
1+x
的導(dǎo)函數(shù)f(x)=
1
1+x
-
1
(1+x)2
=
x
(1+x)2

當(dāng)x>0時,f′(x)>0,所以當(dāng)x>0時,ln(1+x)>
x
1+x
,
x=
1
k
(k=1,2,3,…,n)
ln
k+1
k
1
k+1

n
k=1
ln
k+1
k
n
k=1
1
k+1
,所以 
1
2
+
1
3
+…+
1
n+1
<ln(n+1)

n
2
-(
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+…+
an2
an+a1
)<ln
n+1
點評:本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)列與不等式的綜合,考查不等式的證明,考查導(dǎo)數(shù)知識,綜合性強,屬于難題.
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an
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lim
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an
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(II)設(shè)bn=an-A,n=1,2,…,證明:bn+1=-
bn
A(bn+A)
;
(III)若|bn|≤
1
2n
對n=1,2,…
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數(shù)列{an}滿足a1=
4
3
,an+1=an2-an+1(n∈N*),則m=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2013
的整數(shù)部分是( 。

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