Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=

1

2

，an=

an-1

(-1)nan-1-2

 (n≥2，n∈N)．
（1）試判斷數(shù)列{

1

an

+(-1)n}是否為等比數(shù)列，并說明理由；
（2）設(shè)bn=

1

an2

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）對已知遞推公式進(jìn)行變形可構(gòu)造得

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，根據(jù)等比數(shù)列的定義可證
（2）由（1）可求a_n，代入可求b_n，，根據(jù)數(shù)列通項的特點可選用分組求和．

解答：解：（1）由an=

an-1

(-1)nan-1-2

 (n≥2，n∈N)
得：

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，
∴

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，
又∵a1=

1

2

，∴

1

a1

+(-1)=1，（6分）
∴數(shù)列{

1

an

+(-1)n}是首項為1，公比為-2的等比數(shù)列．
（2）由（1）的結(jié)論有

1

an

+(-1)n=1×(-2)n-1，
即

1

an

=(-2)n-1+(-1)n+1=(-2)n-1+(-1)n-1．
∴bn=

1

an2

=[(-2)n-1+(-1)n-1]2
=4^n-1+2•2^n-1+1=4^n-1+2ⁿ+1
Sn=

1•(1-4n)

1-4

+

1•(1-2n)

1-2

+n=

4n-4

3

+2n+n．（12分）

點評：本題主要考查了利用定義證明數(shù)列為等比數(shù)列及利用分組求和的方法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于綜合試題．