已知橢圓的右焦點為 ，為橢圓的上頂點，為坐標原點，且兩焦點和短軸的兩端構成邊長為的正方形.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）是否存在直線交與橢圓于， ，且使，使得為的垂心，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

（1） ；（2）.

解析試題分析：（1）利用正方形的性質(zhì)，橢圓的性質(zhì)；（2）由直線的方程于橢圓的方程組成方程組，消去，由及綜合求得.
試題解析：（1）由兩焦點與短軸的兩端點構成邊長為的正方形，則，，
所以橢圓方程為.            （4分）
（2）假設存在直線交橢圓于兩點，且使為的垂心，設，，
∵，，則，故直線的斜率，∴設直線的方程為，
由得，由題意知，即，      （7分）
且，，由題意應有，
而，，
故，                    （9分）
∴，
解得或，經(jīng)檢驗，當時，不存在，故舍去，
∴當時，所求直線方程為滿足題意，
綜上所述，存在直線，且直線的方程為,             （14分）
考點：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個焦點和短軸的兩個端點都在圓上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線過點M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點.試探討k為何值時,三角形OAB為直角三角形.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線上，A，C關于軸對稱，BD平行于拋物線在點C處的切線。
（Ⅰ）證明：AC平分；
（Ⅱ）若點A坐標為，四邊形ABCD的面積為4，求直線BD的方程。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左焦點為，右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，
線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；
（Ⅲ）設與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的左頂點為，是橢圓上異于點的任意一點，點與點關于點對稱．
（Ⅰ）若點的坐標為，求的值；
（Ⅱ）若橢圓上存在點，使得，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知、是橢圓的左、右焦點，且離心率，點為橢圓上的一個動點，的內(nèi)切圓面積的最大值為.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 若是橢圓上不重合的四個點，滿足向量與共線，與共
線，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知定圓的圓心為，動圓過點，且和圓相切，動圓的圓心的軌跡記為．
(Ⅰ)求曲線的方程；
(Ⅱ)若點為曲線上一點，試探究直線：與曲線是否存在交點? 若存在，求出交點坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

若橢圓C：的離心率e為, 且橢圓C的一個焦點與拋物線y2＝－12x的焦點重合．
(1) 求橢圓C的方程；
(2) 設點M(2,0), 點Q是橢圓上一點, 當|MQ|最小時, 試求點Q的坐標；
(3) 設P(m,0)為橢圓C長軸（含端點）上的一個動點, 過P點斜率為k的直線l交橢圓與
A,B兩點, 若|PA|2＋|PB|2的值僅依賴于k而與m無關, 求k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

雙曲線與橢圓有相同焦點，且經(jīng)過點，求其方程。

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