Question

11．已知函數(shù)f（x）=a+$\frac{2}{{{2^x}+1}}$（a∈R）
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）用定義法判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若當x∈[-1，5]時，f（x）≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，得f（0）=a+1=0，得a=-1，驗證當a=-1時，f（x）為奇函數(shù)，則a值可求；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，由f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）可得f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；
（Ⅲ）當x∈[-1，5]時，由f（x）為減函數(shù)求出函數(shù)的最大值，再由f（x）≤0恒成立，得${f_{max}}（x）=\frac{4}{3}+a≤0$，從而求得$a≤-\frac{4}{3}$．

解答 解：（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∵x∈R，∴f（0）=a+1=0，得a=-1，
驗證當a=-1時，f（x）=-1+$\frac{2}{{{2^x}+1}}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$為奇函數(shù)，
∴a=-1；
（Ⅱ）∵$f（x）=a+\frac{2}{{{2^x}+1}}$，任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}$=$\frac{{{2^{{x_2}+1}}-{2^{{x_1}+1}}}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$，
由x₁＜x₂得：x₁+1＜x₂+1，
∴${2^{{x_1}+1}}＜{2^{{x_2}+1}}$，${2^{{x_2}+1}}-{2^{{x_1}+1}}＞0$．
故f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；
（Ⅲ）當x∈[-1，5]時，
∵f（x）為減函數(shù)，∴${f_{max}}（x）=f（-1）=\frac{4}{3}+a$，
若f（x）≤0恒成立，則滿足${f_{max}}（x）=\frac{4}{3}+a≤0$，
得$a≤-\frac{4}{3}$．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查了恒成立問題，訓練了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值，是中檔題．