Question

5．定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x）滿足當-1≤x＜0時，f（x）=-$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$，
（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（Ⅱ）判斷并證明f（x）在（0，1]上的單調(diào)性；
（Ⅲ）當x∈（0，1]時，函數(shù)g（x）=$\frac{2^x}{f（x）}-{2^x}$-m有零點，試求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可知f（0）=0，再設0＜x≤1，則-1≤-x＜0，從而得到f（x）=-f（-x）=-（-$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$，從而解得；
（Ⅱ）先判斷f（x）在（0，1]上為減函數(shù)，再由復合函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
（Ⅲ）可化為m=4^x+1-2^x=（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，從而求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
設0＜x≤1，則-1≤-x＜0，
故f（x）=-f（-x）=-（-$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}，-1≤x＜0}\\{0，x=0}\\{\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}，0＜x≤1}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）f（x）在（0，1]上為減函數(shù)，證明如下，
∵f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$=$\frac{1}{{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}}$，
且y=2^x在（0，1]上是增函數(shù)，y=x+$\frac{1}{x}$在（1，2]上是增函數(shù)，
y=$\frac{1}{x}$在（2，$\frac{5}{2}$]上是減函數(shù)；
∴由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，
f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$（0，1]上為減函數(shù)．
（Ⅲ）當x∈（0，1]時，函數(shù)g（x）=$\frac{2^x}{f（x）}-{2^x}$-m=4^x+1-2^x-m，
故m=4^x+1-2^x=（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∵x∈（0，1]，∴2^x∈（1，2]，
∴1＜4^x+1-2^x≤13，
故實數(shù)m的取值范圍為（1，13]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應用，同時考查了函數(shù)的奇偶性的應用．