Question

數(shù)列{a_n}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，a₂、a₅且是方程x²-12x+27=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且T_n=1-

1

2

bn(n∈N*)，
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，解方程x²-12x+27=0可得a₂、a₅，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；由T_n=1-

1

2

b_n可求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）c_n=a_n•b_n，利用錯(cuò)位相減法可求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的公差d＞0，a₂、a₅且是方程x²-12x+27=0的兩根，
∴a₂=3，a₅=9．
∴d=

9-3

5-2

=2，
∴a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
又?jǐn)?shù)列{b_n}中，T_n=1-

1

2

b_n，①
∴T_n+1=1-

1

2

b_n+1，②
②-①得：

bn+1

bn

=

1

3

，又T₁=1-

1

2

b₁=b₁，
∴b₁=

2

3

，
∴數(shù)列{b_n}是以

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1；
綜上所述，a_n=2n-1，b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1；
（2）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•

2

3

•(

1

3

)n-1，
∴S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
=1×

2

3

+3×

2

3

×

1

3

+…+（2n-1）×

2

3

×(

1

3

)n-1，③
∴

1

3

S_n=

2

3

×

1

3

+3×

2

3

×(

1

3

)2+…+（2n-3）×

2

3

×(

1

3

)n-1+（2n-1）×

2

3

×(

1

3

)n，④
∴③-④得：

2

3

S_n=

2

3

+

4

3

[

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n-1]-（2n-1）×

2

3

×(

1

3

)n，
S_n=1+2[

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n-1]-（2n-1）×(

1

3

)n
=1+2×

1 3 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-（2n-1）×(

1

3

)n
=2-

2n+2

3

×(

1

3

)n-1
=2-（2n+2）×(

1

3

)n．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，突出考查錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．