Question

已知函數(shù)f(x)=3^x，且x=a+2時(shí)，f(x)=18，g(x)=3^ax-4^x的定義域?yàn)椋?，1］，
(1)求g(x)的解析式；
(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；
(3)求g(x)的值域。

Answer 1

解：(1)因?yàn)閒(x)=3^x，且x=a+2時(shí)f(x)=18，
所以f(a+2)=3^a+2=18，所以3^a=2，
所以，
所以g(x)=2^x-4^x；
(2)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)椋?，1］，
令t=2^x，
因?yàn)閤∈［0，1］時(shí)，函數(shù)t=2^x在區(qū)間［0，1］上單調(diào)遞增，
所以t∈［1，2］，
則g(t)=t-t²=-(t²-t)，t∈［1，2］，
因?yàn)楹瘮?shù)t=2^x在區(qū)間［0，1］上單調(diào)遞增，函數(shù)g(t)=t-t²在t∈［1，2］上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)g(x)在區(qū)間［0，1］上單調(diào)遞減；
(3)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在區(qū)間［0，1］上單調(diào)遞減，
所以x∈［0，1］時(shí)，有g(shù)(1)≤g(x)＜g(0)，
因?yàn)間(1)=2¹-4¹=-2，g(0)=2⁰-4⁰=0，
所以-2≤g(x)≤0，
故函數(shù)g(x)的值域?yàn)椋?2，0］。