Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，點(diǎn)A，B，C為橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，A為橢圓的右端點(diǎn)，BC過(guò)中心O，且|BC|=2|AB|，S_△ABC=3．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P，Q是橢圓上位于直線AC同側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于A，C），且滿足∠PBC=∠QBA，試討論直線BP與直線BQ斜率之間的關(guān)系，并求證直線PQ的斜率為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）先求出B的坐標(biāo)，代入橢圓方程，求出b，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線BP：y-

3

2

=k(x-1)代入橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1，求出P的坐標(biāo)，用-k代入得xQ=

4k2+12k-3

3+4k2

，yQ=

-12k2+6k

3+4k2

+

3

2

，利用斜率公式，即可求證直線PQ的斜率為定值．

解答： 解：（Ⅰ）∵|BC|=2|AB|，   ∴S△OAB=

1

2

S△ABC=

3

2

…2 分
又△OAB是等腰三角形，所以B(1， 

3

2

)…3 分
把B點(diǎn)帶入橢圓方程

x2

4

+

y2

b2

=1，求得b²=3．…4 分
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…5 分
（Ⅱ）由題易得直線BP、BQ斜率均存在，
又∠PBC=∠QBA，所以k_BP=-k_BQ…7 分
設(shè)直線BP：y-

3

2

=k(x-1)代入橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1，
化簡(jiǎn)得(3+4k2)x2-8k(k-

3

2

)x+4k2-12k-3=0…9 分
其一解為1，另一解為xP=

4k2-12k-3

3+4k2

…10 分
可求yp=

-12k2-6k

3+4k2

+

3

2

…11 分
用-k代入得xQ=

4k2+12k-3

3+4k2

，yQ=

-12k2+6k

3+4k2

+

3

2

…12 分
∴kPQ=

yP-yQ

xP-xQ

=

1

2

為定值．…13 分

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查斜率的計(jì)算，正確求出P，Q的坐標(biāo)是關(guān)鍵．