Question

（2007•靜安區(qū)一模）（理） 如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，點(diǎn)O為該正方形的中心，側(cè)棱PA=PC，PB=PD．
（1）求證：四棱錐P-ABCD是正四棱錐；
（2）設(shè)點(diǎn)Q是側(cè)棱PD的中點(diǎn)，且PD的長(zhǎng)為2a．求異面直線OQ與AB所成角的大�。�（用反三角函數(shù)表示）

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)PA=PC，得到PO⊥AC；同理PO⊥BD可得PO⊥平面ABCD； 再結(jié)合O是正方形ABCD的中心即可證：四棱錐P-ABCD是正四棱錐；
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，正方形對(duì)角線為x，y軸，求出個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)以及對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，再代入由數(shù)量積求向量夾角的計(jì)算公式即可得到結(jié)論．

解答：解：（理）（1）連接PO，因?yàn)镻A=PC，所以PO⊥AC；       （2分）
同理PO⊥BD；所以PO⊥平面ABCD；                   （4分）
又因?yàn)镺是正方形ABCD的中心，
所以四棱錐P-ABCD是正四棱錐．（6分）
（2）解：以O(shè)為原點(diǎn)，正方形對(duì)角線為x，y軸，A(0，-

2

2

a，0)，B(

2

2

a，0，0)，P(0，0，

14

2

a)，

OQ

=(-

2

4

a，0，

14

4

a)，

AB

=(

2

2

a，

2

2

a，0)，（10分）
設(shè)

OQ

與

AB

的夾角為θ，則cosθ=-

1

4

．設(shè)

OQ

與

AB

的夾角為θ，則cosθ=-

1

4

．
所以異面直線OQ與AB所成角的大小為arccos

1

4

．             （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線及其所成的角以及棱錐的結(jié)構(gòu)特征．正四棱錐的要求是下底面為正方形，頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為下底面的中心．