Question

將一副三角板放在同一個平面上組成下圖所示的四邊形ACBD，△ABC中，∠C＝，AC＝BC，△ABD中，∠ABD＝，∠D＝．設AC＝a．現(xiàn)將四邊形ACBD沿著AB翻折成直二面角C－AB－D，連結CD得一個四面體(如下圖)．

　　

(1)求證：平面ACD⊥平面BCD；

(2)求直線AD和BC所成的角；

(3)求直線AD和平面BCD所成的角；

(4)求平面ACD和平面ABD所成二面角的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

證明(1)∵∠ABD＝，∴DB⊥AB． 　　∵C－AB－D是直二面角，∴DB⊥平面ABC． 　　∴AC⊥BD． 　　又∵∠ACB＝，∴AC⊥BC． 　　∴AC⊥平面BCD． 　　∴平面ACD⊥平面BCD． 　　解(2)作AE∥DB，取AE＝DB(如圖)．則ADBE是平行四邊形．BE∥DA，BC與BE所成的銳角即是異面直線AD與BC所成的角．設AB與DE相交于O，則O是AB和DE的中點，∴CO⊥AB．∵C－AB－D是直二面角，∴CO⊥平面ADBE．∵OD＝OE，∴CE＝CD，而 ∴∠CBE＝即為所求的異面直線AD與BC所成的角． 　　解(3)由(1)已證DB⊥平面ABC，∴AC⊥BD．又AC⊥BC，∴AC⊥平面BCD且AC⊥CD．于是∠CDA為AD與平面BCD所成的角．在Rt△ACD中，AC＝a，，∴，∠CDA＝即為所求AD與平面BCD所成的角． 　　解(4)過C作CO⊥AB，O為垂足． 　　∵平面ABC⊥平面ABD，∴CO⊥平面ABD．在平面ABD內(nèi)，作OE⊥AD，E為垂足，連結CE．根據(jù)三垂線定理，有CE⊥AD，∠CEO就是所求二面角的平面角． 　　∵AC＝a，AC＝BC，∠ACB＝，CO⊥AB， 　　∴AO＝BO＝CO＝． 　　∵∠ABD＝，∠ADB＝，∴． 　　在Rt△COE中，，∴∠CEO＝arctan2．

提示：

本題也可以用中位線法得出兩條異面直線所成的角，然后計算出二面角的平面角的大小．如圖，M，N，O分別是AC，CD，AB的中點，則MN與OM所成的銳角就是異面直線AD與BC所成的角．在直角△COD中，ON是斜邊上的中線，得．不難計算得出結果．