Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是正方形ABCD的中心，N是棱CC₁（包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)給出以下命題：
①對(duì)于任意的點(diǎn)N，都有MN⊥B₁D₁；
②存在點(diǎn)N，使得MN⊥平面A₁BD；
③存在點(diǎn)N，使得異面直線MN和A₁B₁所成角的余弦值是

6

3

；
④對(duì)于任意的點(diǎn)N，三棱錐B-MND₁的體積為定值．
其中正確命題的編號(hào)是

 

．（寫出所有正確命題的編號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：對(duì)于①，根據(jù)MN?平面A₁C₁CA，可以通過(guò)判斷BD是否垂直于平面A₁C₁CA而得出結(jié)論．
對(duì)于②，先證AC₁⊥平面A₁BD，再將A₁C平移至MN，即可探究點(diǎn)N的存在性．
對(duì)于③，根據(jù)兩異面直線所成角的定義，作出平面角，將此平面角放在一個(gè)三角形中，設(shè)出正方體中的相關(guān)量，解此三角形，列出余弦值的表達(dá)式，可得余弦值的范圍，即可判斷

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是否在此范圍內(nèi)．
對(duì)于④，根據(jù)VB-MND1=VN-BMD1，考慮三棱錐VN-BMD1的底面積與高，即可知三棱錐B-MND₁的體積是否為定值．

解答： 解：在①中，連接A₁C₁，由正方體的幾何特征知，B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥AA₁，
∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，又MN?平面ACC₁A₁，∴B₁D₁⊥MN，
故①正確．
在②中，連接AC₁，由正方體的幾何特征知，AC₁⊥A₁B，AC₁⊥A₁D，
∴AC₁⊥平面A₁BD．
當(dāng)N是棱CC₁的中點(diǎn)時(shí)，MN∥AC₁，則MN∥平面A₁BD．
故②正確．
在③中，過(guò)N作CD的平行線NE，交DD₁于E，連接ME，
過(guò)M作MF⊥EN交NE于F，則∠FNM即為異面直線MN與A₁B₁所成的角．如右圖所示．
由

CN=DE MD=MC ∠NCM=∠EDM

知，Rt△EDM≌Rt△NCM，
∴ME=MN，∴EF=FN．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，CN=x，則cos∠FNM=

FN

MN

=

1

x2+2

，
由0≤x≤2知，

6

6

≤cos∠FNM≤

2

2

，
而

6

3

∉[

6

6

，

2

2

]，故③錯(cuò)誤．
在④中，考慮△D₁BM，以BM為底，DD₁為高，可知S△MBD1是定值．
又CC₁∥平面BB₁D₁D，∴N到平面BB₁D₁D的距離等于CC₁到平面BB₁D₁D的距離，為定值，
∴三棱錐N-BMD₁的體積為定值，
由VB-MND1=VN-BMD1知，三棱錐B-MND₁的體積為定值，
故④正確．
綜上，正確命題是①②④．
故答案為①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，推理論證能力，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．解題的關(guān)鍵在于熟練應(yīng)用定義、定理及性質(zhì)等．