Question

已知數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1=2λS_n+1（λ是大于0的常數(shù)），且a₁=1，a₃=4．
（Ⅰ）求λ的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）由S_n+1=2λS_n+1得S₂=2λS₁+1=2λa₁+1=2λ+1，S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1
∴a₃=S₃-S₂=4λ²，∵a₃=4，λ＞0，∴λ=1
（Ⅱ）由S_n+1=2S_n+1整理得S_n+1+1=2（S_n+1），
∴數(shù)列{S_n+1}是以S₁+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列
∴S_n+1=2•2^n-1，∴S_n=2ⁿ-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n≥2）
∵當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1滿足a_n=2^n-1，∴a_n=2^n-1
分析：（Ⅰ）由已知，表示出a₃=S₃-S₂=4λ² 解次方程即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 S_n+1=2S_n+1整理得S_n+1+1=2（S_n+1），求出S_n，再利用數(shù)列中a_n，Sn的關(guān)系求出a_n．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列中a_n，Sn的關(guān)系及應(yīng)用、等比數(shù)列的判定、通項(xiàng)公式，考查變形構(gòu)造的能力．屬于中檔題題．