Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F2，該橢圓與y軸正半軸交于點(diǎn)M，且△MF1F2是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)F2任作一直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，平面上有一動(dòng)點(diǎn)P，設(shè)直線(xiàn)PA，PF2，PB的斜率分別為k1，k，k2，且滿(mǎn)足k1+k2=2k，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）x=4.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義可得，從而可求出橢圓的方程.

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F2的直線(xiàn)方程為y=（x﹣1）（當(dāng)斜率存在時(shí)），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），將直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出兩根之和、兩根之積，用兩點(diǎn)表示出直線(xiàn)的斜率，代入k1+k2=2k，化簡(jiǎn)即可求解；當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證是否滿(mǎn)足求出的軌跡方程即可.

（1）由題意可知：b=|OM|，a=|MF1|=2，

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①設(shè)過(guò)點(diǎn)F2的直線(xiàn)方程為y=（x﹣1）（當(dāng)斜率存在時(shí)），

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），

聯(lián)立方程，得到（3+42）x2﹣82x+42﹣12=0，

其中，，y1=（x1﹣1），y2=（x2﹣1），

由k1+k2=2k得：，

通分代入得：，

即（x0﹣4）（（x0﹣1）﹣y0）=0，y0=（x0﹣1）舍去，所以x0=4，

②當(dāng)直線(xiàn)斜率k不存在時(shí)，即為x=1，經(jīng)驗(yàn)證可知直線(xiàn)x0=4上任意一點(diǎn)亦滿(mǎn)足條件.

所以點(diǎn)P的軌跡的方程為x=4.