Question

11．如圖所示，已知多面體ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為1的正方體．
（1）求證：平面AB₁D₁∥平面BDC₁；
（2）求四棱錐D₁-AB₁C₁D的體積．

Answer 1

分析 （1）在平面AB₁D₁找兩條相交直線AB₁，AD₁分別平行于平面BDC₁；
（2）連接D₁C，設(shè)D₁C∩C₁D=O，證明D₁O為四棱錐D₁-AB₁C₁D的高，求出底面積，即可求四棱錐D₁-AB₁C₁D的體積．

解答 （1）證明：由已知，在四邊形DBB₁D₁中，BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁，
故四邊形DBB₁D₁為平行四邊形，即D₁B₁∥DB，-----2’
∵D₁B₁?平面DBC1，∴D₁B₁∥平面DBC₁；-----3’
同理在四邊形ADC₁B₁中，AB₁∥DC₁，-----4’
同理AB₁∥平面DBC₁，-------5’
又∵AB₁∩D₁B₁=B₁，-----6’
∴平面AB₁D₁∥平面BDC₁．----7’
（2）解：連接D₁C，設(shè)D₁C∩C₁D=O，
則在正方形D₁C_ICD中，D₁C⊥DC₁，----8’
又在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C₁⊥平面C₁CDD₁，
所以D₁C⊥B₁C₁，----9’
∵DC₁∩B₁C₁=C₁，∴D₁C⊥平面AB₁C₁D，--10’
即D₁O為四棱錐D₁-AB₁C₁D的高；
由已知，在正方形DCC₁D₁中，邊長為1，
∴D₁C=DC₁=$\sqrt{2}$，∴四棱錐的高D₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，----11’
又在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形AB₁C₁D為矩形，且C₁D=$\sqrt{2}$，B₁C₁=1，
故${S}_{A{B}_{1}{C}_{1}D}$=1×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$----12’
∴${V}_{D-A{B}_{1}{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}$----14’

點評 本題考查平面與平面平行的判定，考查四棱錐D₁-AB₁C₁D的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．