Question

8．定義區(qū)間（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的長度均為n-m，其中n＞m．
（1）若關于x的不等式ax²+12x-3＞0的解集構成的區(qū)間的長度為$2\sqrt{3}$，求實數(shù)a的值；
（2）求關于x的不等式x²-3x+（sinθ+cosθ）＜0（θ∈R）的解集構成的區(qū)間的長度的取值范圍；
（3）已知關于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}\frac{7}{x+2}＞1\\{log_2}x+{log_2}（{tx+2t}）＜3\end{array}\right.$的解集構成的各區(qū)間長度和為5，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）觀察二次項的系數(shù)帶有字母，需要先對字母進行討論，當a等于0時，看出合不合題意，a≠0時，方程2ax²-12x-3=0的兩根設為x₁、x₂，根據(jù)根與系數(shù)之間的關系，寫出兩根的和與積，表示出區(qū)間長度，得到結果．
（2）根據(jù)所給的函數(shù)式，利用三角函九公式進行化簡求值，根據(jù)二次不等式出不等式成立的條件，由此能求出結果．
（3）先解關于x的不等式組，解出兩個不等式的解集，求兩個不等式的解集的交集，A∩B（0，5），不等式組的解集的各區(qū)間長度和為6，寫出不等式組進行討論，得到結果

解答 解：（1）當a=0時，不等式ax²+12x-3＞0的解為x＞$\frac{1}{4}$，不成立；
當a≠0時，方程ax²+12x-3=0的兩根設為x₁、x₂，則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{12}{a}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{3}{a}$，
由題意知（2$\sqrt{3}$）²=|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=$\frac{144}{{a}^{2}}$+$\frac{12}{a}$，
解得a=-3或a=4（舍），
所以a=-3．
（2）∵x²-3x+（sinθ+cosθ）＜0，
∴${x}^{2}-3x+\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$＜0，
∵$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴當$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$=-$\sqrt{2}$時，x²-3x-$\sqrt{2}$＜0的解集為（1-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$），
當$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$時，x²-3x+$\sqrt{2}$＜0的解集為（2-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$），
∴關于x的不等式x²-3x+（sinθ+cosθ）＜0（θ∈R）的解集構成的區(qū)間的長度的取值范圍是（1，2$\sqrt{2}$-1）．
（3）先解不等式$\frac{7}{x+2}$＞1，整理，得$\frac{x-5}{x+2}＜0$，解得-2＜x＜5．
∴不等式$\frac{7}{x+2}$＞1的解集為A=（-2，5），
設不等式log₂x+log₂（tx+3t）＜3的解集為B，不等式組的解集為A∩B，
∵關于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}\frac{7}{x+2}＞1\\{log_2}x+{log_2}（{tx+2t}）＜3\end{array}\right.$的解集構成的各區(qū)間長度和為5，且A∩B?（-2，5），

不等式log₂x+log₂（tx+3t）＜3等價于$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{tx+3t＞0}\\{t{x}^{2}+3tx-8＜0}\end{array}\right.$，
當x∈（0，5）時，恒成立
當x∈（0，5）時，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0，
當x∈（0，5）時，不等式tx²+3tx-8＜0恒成立，即t＜$\frac{8}{{x}^{2}+3x}$恒成立，
當x∈（0，5）時，$\frac{8}{{x}^{2}+3x}$的取值范圍為（$\frac{1}{5}，+∞$），
∴實數(shù)t≤$\frac{1}{5}$，
綜上所述，t的取值范圍為（0，$\frac{1}{5}$）．

點評 本題考查一個新定義問題，即區(qū)間的長度，本題解題的關鍵是對于條件中所給的三種不同的題目進行整理變化，注意恒成立問題，這是高考題目中必考題型之一．