Question

在醫(yī)學(xué)生物學(xué)實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常以小老鼠作為實(shí)驗(yàn)對象．在甲籠子里關(guān)有7只小老鼠（其中5只白色的，2只灰色的），由于都感染了某種烈性病菌，所以想讓它們自行分開．以便于進(jìn)行觀察、試驗(yàn)．現(xiàn)有乙籠子是空的，把甲籠子打開一個小孔（只能讓小鼠鉆出去，再進(jìn)不來），讓小鼠一只一只地往乙籠子跑（假定它們都會爭先恐后地從小孔往乙籠跑），直到兩只小灰鼠都跑出甲籠子，立即關(guān)閉小孔．以f表示甲籠子里還剩下的小白鼠的數(shù)目．
（1）求乙籠子里恰好只有2只小灰鼠的概率；
（2）求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意由于一只一只的跑，直到兩只小灰鼠都跑出甲籠子，立即關(guān)閉小孔，由于跑時與順序有關(guān)，利用排列數(shù)與古典概型的隨機(jī)事件的概率公式即可求得；
（2）由題意由于ξ表示甲籠子里還剩下的小白鼠的數(shù)目，利用隨機(jī)變量的定義及分布列定義可知：ξ的可能取值為0，1，2，3，4，5，再有期望定義即可求得．

解答：解：（1）由題意，記“乙籠子里恰好只有2只小灰鼠”為事件A，則
        P（A）=

A 2 2

A 2 7

=

1

21

；
     （2）由題意：ξ的可能取值為：0，1，2，3，4，5．
        P（ξ=0）=

C 1 2 A 6 6

A 7 7

=

2

7

，P(ξ=1)=

C 1 2 C 1 5 A 5 5

A 6 7

=

5

21

，P(ξ=2)=

C 1 2 C 3 5 A 4 4

A 5 7

=

4

21

，

        P(ξ=3) =

C 1 2 C 2 5 A 3 3

A 4 7

=

1

7

，P(ξ=4)=

C 1 2 C 1 5 A 2 2

A 3 7

=

2

21

，P(ξ=5)=

A 2 2

A 2 7

=

1

21

．
    隨機(jī)變量ξ的分布列為：
 
Eξ=0×

2

7

+1×

5

21

+2×

4

21

+3×

1

7

+4×

2

21

+5×

1

21

=

5

3

．

點(diǎn)評：此題考查了排列數(shù)，古典概型的概率的計(jì)算公式，隨機(jī)變量的定義，分布列及其期望，還考查了學(xué)生的理解與計(jì)算能力．