Question

已知圓C：x²+y²-4x-6y+4=0
（1）過(guò)點(diǎn)A（-1，-1）作圓C的切線l₁，求切線l₁的方程；
（2）不論實(shí)數(shù)m為何值，證明直線l₂：mx-y-3m+2=0與圓C總相交；
（3）若直線l₂：被圓C截得的弦為AB，求AB的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）根據(jù)題意，可得圓心為（2，3），半徑r=3．設(shè)切線l₁的斜率為k，利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于k的等式，解出k=

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．再根據(jù)直線l₁過(guò)點(diǎn)A且斜率不存在時(shí)也與圓C相切，可得滿足條件的切線l₁的方程．
（2）化簡(jiǎn)直線l₂得：m（x-3）-（y-2）=0，可知直線l₂經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（3，2），而點(diǎn)P恰好是圓C內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，由此可得不論實(shí)數(shù)m為何值，直線l₂與圓C總相交；
（3）根據(jù)圓的性質(zhì)，可知當(dāng)圓心C與P的連線與直線l₂互相垂直時(shí)，直線l₂被圓C截得的弦AB有最小值．由此利用兩點(diǎn)的距離公式與垂徑定理，即可求出AB的最小值．

解答： 解：（1）將圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x-2）²+（y-3）²=9，
∴圓心為C（2，3），半徑r=3．
設(shè)過(guò)點(diǎn)A（-1，-1）的圓C的切線l₁方程為y+1=k（x+1），
即kx-y+k-1=0，
則點(diǎn)C到直線l₁的距離等于半徑，
即

|2k-3+k-1|

k2+1

=3，
解之得k=

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，直線l₁的方程為y+1=

7

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（x+1），
即y=

7

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x-

17

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．
又∵當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線斜率不存在時(shí)，
直線x=-1到點(diǎn)C的距離也等于半徑，此時(shí)直線與圓C也相切．
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，-1）并且與圓C相切的直線l₁的方程為y=

7

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x-

17

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或x=-1；
（2）化簡(jiǎn)直線l₂：mx-y-3m+2=0，得m（x-3）-（y-2）=0，
∴直線l₂經(jīng)過(guò)直線x-3=0與直線y-2=0的交點(diǎn)P（3，2），
∵點(diǎn)P（3，2）滿足3-2）²+（2-3）²＜9，∴點(diǎn)P（3，2）是圓C內(nèi)部一點(diǎn)．
由于直線l₂經(jīng)過(guò)圓C內(nèi)部的定點(diǎn)P（3，2），所以不論實(shí)數(shù)m為何值，直線l₂與圓C總相交；
（3）由（2）知直線l₂經(jīng)過(guò)圓C內(nèi)部的點(diǎn)P（3，2），
∴由圓的性質(zhì)，當(dāng)直線l₂與CP互相垂直時(shí)，l₂被圓C截得的弦AB有最小值．
∵|PC|=

(3-2)2+(2-3)2

=

2

，
∴根據(jù)垂徑定理，得|AB|=2

r2-|PC|2

=2

7

，
即直線l₂被圓C截得的弦AB長(zhǎng)的最小值為2

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題已知圓C的方程，求圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的切線方程，并求直線被圓截得弦長(zhǎng)的最小值．著重考查了直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式和圓的有關(guān)性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．