Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）在R上恒有f′（x）＜

1

2

，則不等式f（x）＜

1

2

x+

1

2

的解集為（　�。�

• A、（1，+∞）
• B、（-∞，-1）
• C、（-1，1）
• D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由題意，設(shè)g（x）=f（x）-（

1

2

x+

1

2

），x∈R；求出g′（x），判定g（x）的單調(diào)性，由此求出不等式f（x）＜

1

2

x+

1

2

的解集．

解答： 解：根據(jù)題意，設(shè)g（x）=f（x）-（

1

2

x+

1

2

），x∈R；
∴g′（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
∴g（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)；
又∵g（1）=f（1）-（

1

2

+

1

2

）=0，
∴當(dāng)x＞1時，g（x）＜0恒成立，
即f（x）＜

1

2

x+

1

2

的解集是（1，+∞）．
故選：A．

點評：本題考查了求不等式的解集的問題，解題時根據(jù)題意，利用構(gòu)造函數(shù)的方法，由導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性并求出不等式的解集，是中檔題．