Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x2

-

a

x

（x≠0，a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0，1]上為減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

x2

-

a

x

，
∴f（-x）=

1

x2

+

a

x

，
若a=0，則f（-x）=f（x）此時函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
若a≠0，f（-1）+f（1）=2≠0，f（-1）-f（1）=2a≠0，
即f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1），
此時函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)0＜x₁＜x₂≤1，則f（x₁）-f（x₂）=

1

x12

-

1

x22

-(

a

x1

-

a

x2

)
=(

1

x1

-

1

x2

)(

1

x1

+

1

x2

-a)=

x2-x1

x1x2

•(

1

x1

+

1

x2

-a)，
要使函數(shù)f（x）在（0，1]上為減函數(shù)，
則f（x₁）-f（x₂）＞0．
∵x₂-x₁＞0，
∴

1

x1

+

1

x2

-a＞0，即a＜

1

x1

+

1

x2

，
∵0＜x₁＜x₂≤1，∴

1

x1

+

1

x2

＞2，
即a≤2，
即a的取值范圍是（-∞，2]．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．第二問也可以使用導(dǎo)數(shù)進行求解．