Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=-（x為實(shí)常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）若方程e^2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在區(qū)間[]上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)φ（x）=f（x）-g（x）=lnx--
∴φ′（x）=
∵x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0
∴函數(shù)φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上單調(diào)遞增
∴x=4時(shí)，φ（x）_min=2ln2-；
（2）方程e^2f（x）=g（x）可化為x²=-，∴a=-x³，
設(shè)y=-x³，則y′=-3x²，
∵x∈[]
∴函數(shù)在[]上單調(diào)遞增，在[，1]上單調(diào)遞減
∵x=時(shí)，y=；x=時(shí)，y=；x=1時(shí)，y=，
∴y∈[]
∴a∈[]
分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）化簡(jiǎn)方程，分離參數(shù)，再構(gòu)建新函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．