Question

如圖，多面體EF-ABCD中，ABCD是梯形，AB∥CD，ACFE是矩形，面ACFE⊥面ABCD，AD=DC=CB=AE=a，∠ACB=．
（1）若M是棱EF上一點(diǎn)，AM∥平面BDF，求EM；
（2）求二面角B-EF-D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，記AC∩BD=O，在梯形ABCD中，由題意得∠ACD=∠CAB=∠DAC，由角之間的關(guān)系可得∠DAC=，從而∠CBO=，又∠ACB=，CB=a，所以CO=，由AM∥平面BDF得AM∥FO．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的運(yùn)算求出平面DEF的一個(gè)法向量為，平面BEF的一個(gè)法向量為，進(jìn)而由兩個(gè)法向量求出二面角余弦值的大�。�
解答：解（1）連接BD，記AC∩BD=O，在梯形ABCD中，
因?yàn)锳D=DC=CB=a，AB∥CD，
所以∠ACD=∠CAB=∠DAC，
π=∠ABC+∠BCD=∠DAB+∠ACD+ACB=3∠DAC+，∠DAC=，從而∠CBO=，
又因?yàn)椤螦CB=，CB=a，所以CO=，
連接FO，由AM∥平面BDF得AM∥FO，
因?yàn)锳CFE是矩形，所以EM=CO=．
（2）以C為原點(diǎn)，CA、CB、CF分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，0，0），，B（0，a，0），，F(xiàn)（0，0，a），，
設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為，
則有，即，
解得，
同理可得平面BEF的一個(gè)法向量為，
觀察知二面角B-EF-D的平面角為銳角，所以其余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而便于幾何體的線面關(guān)系以及建立坐標(biāo)系利用向量解決空間角與空間距離的問題