Question

如圖所示，已知圓O₁與圓O₂外切，它們的半徑分別為3、1，圓C與圓O₁、圓O₂外切．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求圓C的圓心的軌跡方程；
（2）在（1）的坐標(biāo)系中，若圓C的半徑為1，求圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)求曲線(xiàn)的軌跡方程常采用的方法定義法，由|CO₁|-|CO₂|=2即可得圓心的軌跡方程；
（2）欲求圓C的方程，關(guān)鍵是求其圓心的坐標(biāo)，令C（x，y），由圓C與圓O₁、O₂相切得關(guān)于x，y的方程組解之即得．

解答：解：（1）如圖，以O(shè)₁O₂所在的直線(xiàn)為x軸，以O(shè)₁O₂的中垂線(xiàn)
所在的直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)圓C的圓心
為C（x，y），半徑為r，由|CO₁|-|CO₂|=（r+3）-（r+1）=2，
得圓C的圓心的軌跡是以O(shè)₁（-2，0），O₂（2，0）為焦點(diǎn)，
定長(zhǎng)為2的雙曲線(xiàn)，設(shè)它的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1．由2a=2，得a=1，
又c=2，∴b²=c²-a²=3．又點(diǎn)（1，0）不合題意，且|CO₁|-|CO₂|=2＞0，知x＞1．
∴圓C的圓心的軌跡方程是x2-

y2

3

=1（x＞1）．
（2）令C（x，y），由圓C與圓O₁、O₂相切得|CO₁|=4，|CO₂|=2，
故

(x+2)2+y2=16 (x-2)2+y2=4

，解得C(

3

2

，±

15

2

)，
∴圓C的方程為(x-

3

2

)2+(y±

15

2

)2=1．

點(diǎn)評(píng)：求曲線(xiàn)的軌跡方程是解析幾何的基本問(wèn)題．求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系．定義法，若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)、圓等），可用定義直接探求．