【題目】△ABC的三個頂點分別為A(1,0),B(1,4),C(3,2),直線l經過點D(0,4).
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)求△ABC外接圓M的方程;
(3)若直線l與圓M相交于P,Q兩點,且PQ=2 ,求直線l的方程.

【答案】
(1)解:因為A(1,0),B(1,4),C(3,2),所以kAC=1,kBC=﹣1,

所以CA⊥CB,又CA=CB=2 ,所以△ABC是等腰直角三角形


(2)解:由(1)可知,⊙M的圓心是AB的中點,所以M(1,2),半徑為2,

所以⊙M的方程為(x﹣1)2+(y﹣2)2=4


(3)解:因為圓的半徑為2,當直線截圓的弦長為2 時,

圓心到直線的距離為 =1.

①當直線l與x軸垂直時,l方程為x=0,它與圓心M(1,2)的距離為1,滿足條件;

②當直線l的斜率存在時,設l:y=kx+4,因為圓心到直線y=kx+4的距離為 =1,解得k=﹣ ,此時直線l的方程為3x+4y﹣16=0.

綜上可知,直線l的方程為x=0或3x+4y﹣16=0


【解析】(1)根據點的坐標分別求得AC,BC的斜率判斷出兩直線垂直,進而判斷出三角形為直角三角形.(2)先確定圓心,進而利用兩點間的距離公式求得半徑,則圓的方程可得.(3)先看直線斜率不存在時判斷是否符合,進而看斜率存在時設出直線的方程,利用圓心到直線的距離求得k,則直線的方程可得.

練習冊系列答案
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