Question

13．將正偶數(shù)列{2n}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如圖數(shù)表：記a_ij是這個數(shù)表的第i行第j列的數(shù)．例如a₄₃=18．
（1）求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S；
（2）2012這個數(shù)位于第幾行第幾列？
（3）已知函數(shù)f_n（x）=$\frac{\root{3}{x-n}}{{3}^{n}}$（其中x＞0），設該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為b_n，數(shù)列{f（b_n）}的前n項和為T_n，求證T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）該數(shù)表前5行所有數(shù)共有=1+2+3+4+5=15個從2開始的連續(xù)的偶數(shù)．利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．
（2）由（1）可知：這個數(shù)表的前n行的偶數(shù)的個數(shù)=$\frac{n（n+1）}{2}$，前n行的最后一個偶數(shù)為n（n+1），當n=44時，44×45=1980；當n=45時，45×46=2070.2012=1980+2×16，即可判斷出．
（3）該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為b_n=n（n-1）×n+2+4+…+2n=n（n²+1）．可得f（b_n）=$\frac{n}{{3}^{n}}$．利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （1）解：該數(shù)表前5行所有數(shù)共有=1+2+3+4+5=$\frac{5×（1+5）}{2}$=15個從2開始的連續(xù)的偶數(shù)．
∴S=$15×2+\frac{15×14}{2}×2$=240．
（2）解：由（1）可知：這個數(shù)表的前n行的偶數(shù)的個數(shù)=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴前n行的最后一個偶數(shù)為n（n+1），當n=44時，44×45=1980；當n=45時，45×46=2070．
∴2012=1980+2×16，即2012是第45行的第16個偶數(shù)，即2012這個數(shù)位于第45行第16列．
（3）證明：該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為b_n=n（n-1）×n+2+4+…+2n=n（n²+1）．
∴f（b_n）=$\frac{\root{3}{{n}^{3}+n-n}}{{3}^{n}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$．
∴T_n=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n}}+\frac{n}{{3}^{n+1}}$．
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{3}×（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{3+2n}{2×{3}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$$＜\frac{3}{4}$．
∴T_n＜$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．