Question

【題目】已知函數(shù)，,使得對任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，都有恒成立.

（1）求的解析式；

（2）若方程有兩個(gè)實(shí)根，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意，在上單調(diào)遞減，求導(dǎo)得，分類討論的單調(diào)性，結(jié)合題意，得出的解析式；

（2）由為方程的兩個(gè)實(shí)根，得出，，兩式相減，分別算出和，利用換元法令和構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求出，即可證出結(jié)論.

（1）根據(jù)題意，對任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，都有恒成立.

則在上單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減.，

當(dāng)時(shí)，由，有，

此時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

綜上，，所以.

（2）由為方程的兩個(gè)實(shí)根，

得，

兩式相減，可得，

因此，

令，由，得，

則，

構(gòu)造函數(shù).

則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故，

即， 可知，

故，命題得證.