【題目】求平面直角坐標系中格點凸五邊形(即每個頂點的縱、橫坐標都是整數(shù)的凸五邊形)的周長的最小值。
【答案】
【解析】
設此凸五邊形的5個頂點依次為,坐標為
,并用復數(shù)表示頂點
為虛數(shù)單位。
記,則
1.的實部與虛部都是整數(shù),且
(從而
);
2.;
3.凸五邊形的周長為
。
由凸性知,任意兩個不具有同一方向。由1知,若某個
,滿足
,則
只能是
,
中模為1的個數(shù)至多只有4個:
。
1.若中1的個數(shù)恰為4,由2知,余下一個為0,與1矛盾。
2.若中1的個數(shù)恰為3,剩下的兩個都為
(模為
的至多只有4個,
),則他們不會滿足2,于是,此時,周長不小于
。
3.若中恰有2個1,剩下的3個都為
,如圖所示,此時周長為
。
4.其他情況,周長不小于。
綜上可知,格點凸五邊形周長的最小值為。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}各項均不相同,a1=1,定義,其中n,k∈N*.
(1)若,求
;
(2)若bn+1(k)=2bn(k)對均成立,數(shù)列{an}的前n項和為Sn.
(i)求數(shù)列{an}的通項公式;
(ii)若k,t∈N*,且S1,Sk-S1,St-Sk成等比數(shù)列,求k和t的值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,函數(shù)
恰有兩個不同的零點,求實數(shù)
的值;
(2)當時,
① 若對于任意,恒有
,求
的取值范圍;
② 若,求函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值
.
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【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中點,F是DC上的點且DF=AB,PH為△PAD邊上的高.
(1)證明:PH⊥平面ABCD;
(2)若PH=1,AD=,FC=1,求三棱錐E-BCF的體積;
(3)證明:EF⊥平面PAB.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設集合.若
的非空子集
中奇數(shù)的個數(shù)大于偶數(shù)的個數(shù),則稱
是“好的”.試求
的所有“好的”子集的個數(shù)(答案寫成最簡結果).
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【題目】如圖,正方體的棱長為a,
分別是棱
、
的中點,過點
的平面分別與棱
、
交于點
,設
,
,給出以下四個命題:
(1)平面與平面
所成角的最大值為
;
(2)四邊形的面積的最小值為
;
(3)四棱錐的體積為
;
(4)點到平面
的距離的最大值為
,
其中正確的個數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果,他證明過這樣一個命題:平面內與兩定點距離的比為常數(shù)k(k>0,k≠1)的點的軌跡是圓,后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系中,設A(﹣3,0),B(3,0),動點M滿足=2,則動點M的軌跡方程為()
A. (x﹣5)2+y2=16B. x2+(y﹣5)2=9
C. (x+5)2+y2=16D. x2+(y+5)2=9
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