Question

已知函數(shù)f(x)=x(

1

2x-1

+

1

2

)
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）求證：當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性的對(duì)稱性的性質(zhì)即可證明當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）＞0．

解答： 解：（1）由題意可得：2^x-1≠0…（2分），
∴x≠0…（3分），
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}…（4分）
（2）∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}…（1分）
∴f(-x)=-x(

1

2-x-1

+

1

2

)=-x(

1

1 2x -1

+

1

2

)=-x(

2x

1-2x

+

1

2

)=-x(

2x-1+1

1-2x

+

1

2

)=-x(

1

1-2x

-

1

2

)=x(

1

2x-1

+

1

2

)=f（x）…（4分）
∴f（x）為偶函數(shù)…（5分）
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，
∴2^x＞1∴2^x-1＞0∴

1

2x-1

＞0∴

1

2x-1

+

1

2

＞

1

2

∴f(x)=x(

1

2x-1

+

1

2

)＞0…（3分）
又∵f（x）為偶函數(shù)∴x＜0時(shí)，f（x）＞0…（4分）
綜上可得：當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）＞0．…（5分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和定義域的求解，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．