Question

已知函數f（x）=ax²+（2a-1）x-3在區(qū)間[-

3

2

，2]上的最大值為1，求實數a的值．

Answer 1

分析：因為當a等于0時，函數在區(qū)間[-

3

2

，2]上的最大值不為1，所以得到a不等于0，即可得到函數為二次函數，找出f（x）的對稱軸方程，分三種情況考慮：當f（-

3

2

）等于1時，代入函數解析式即可求出a的值，然后求出對稱軸方程，經過判斷發(fā)現a要小于0時，頂點取得最大值，與f（-

3

2

）等于1矛盾，不合題意；當f（2）等于1時，代入函數解析式即可求出a的值，同理求出函數的對稱軸方程，判斷f（2）為最大值符合題意；當頂點為最高點時，得到f（x₀）=1，代入解析式即可求出a的值，經過驗證得到滿足題意的a的值，綜上，得到滿足題意的所有a的值．

解答：解：a=0時，f（x）=-x-3，f（x）在[-

3

2

，2]上不能取得1，
故a≠0，則f（x）=ax²+（2a-1）x-3（a≠0）的對稱軸方程為x₀=

1-2a

2a

，
①令f(-

3

2

)=1，解得a=-

10

3

，
此時x₀=-

23

20

∈[-

3

2

，2]，
∵a＜0，∴f（x₀）最大，所以f(-

3

2

)=1不合適；
②令f（2）=1，解得a=

3

4

，
此時x₀=-

1

3

∈[-

3

2

，2]
因為a=

3

4

＞0，x0=-

1

3

∈[-

3

2

，2]且距右端2較遠，所以f（2）最大合適；
③令f（x₀）=1，得a=

1

2

(-3±2

2

)，經驗證a=

1

2

(-3-2

2

)
綜上，a=

3

4

或a=

1

2

(-3-2

2

)．

點評：此題考查學生掌握二次函數的圖象與性質，考查了分類討論的數學思想，是一道綜合題．解題的關鍵是找出對稱軸與區(qū)間的關系．