Question

（2009•湖北模擬）已知函數(shù)f(x)=

x3-1 x-1 ，x≠1 a，x=1

，若f(x)在R上連續(xù)，則 

lim

n→∞

(

an-1

n

+

2a

3n

)=

3

．

Answer 1

分析：本題中函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，由于函數(shù)在xR上連續(xù)，故可知函數(shù)在點(diǎn)x=1處連續(xù)，由其左右兩側(cè)函數(shù)值的極限相等建立方程求參數(shù)，由于其中一段在x=1處無(wú)定義，故需要先對(duì)其進(jìn)行變形，以方便判斷其右側(cè)函數(shù)值的極限．根據(jù)極限的運(yùn)算法則，即可求得結(jié)果．

解答：解：當(dāng)x≠1時(shí)，f（x）=

x3-1

x -1

=x2+x+1
由于函數(shù)在x=1處連續(xù)，故有
a=1+1+1=3
 

lim

n→∞

(

an-1

n

+

2a

3n

)=

lim

n→∞

（

3n-1

n

+

2

n

）=

lim

n→∞

（3+

1

n

）=3
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)的連續(xù)性，考查由函數(shù)的連續(xù)性得到參數(shù)的方程求參數(shù)，函數(shù)連續(xù)性的定義是：如果函數(shù)在某點(diǎn)處的左極限與右極限相等且等于該點(diǎn)處的函數(shù)值，則稱此函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)．本題中對(duì)x≠1時(shí)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)是一個(gè)難點(diǎn)，變形時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真，避免變形出錯(cuò)．屬中檔題．